Conférence hors cycle : Maurice DE GOSSON

En 1992 les mathématiciens Mark Gotay et James Isenberg publient, dans la Gazette des Mathématiciens, un article intitulé « Symplecification de la Science » où ils analysent l’influence grandissante de la géométrie symplectique en particulier en physique. Depuis, des avancées importantes ont été faites en géométrie et topologie symplectique. En particulier, le mathématicien Micha Gromov a prouvé, en 1985, un théorème remarquable sur la rigidité des difféomorphismes symplectiques. Ce résultat entraine, entre autres que les flots hamiltoniens ont une propriété beaucoup plus forte que celles prévues par le théorème de Liouville sur la conservation de volume par les flots Hamiltoniens. En fait, dans cet exposé, nous commencerons par explorer le théorème de « non-squeezing » symplectique de Gromov, et certaines de ses conséquences, comme l’existence de capacités symplectiques. En nous appuyant sur nos travaux antérieurs, nous introduirons ensuite le concept de « quantum blob », la plus petite unité de l’espace des phases compatible avec le principe d’indétermination de la mécanique quantique. Contrairement aux attentes habituelles, ces quantums blobs ne sont pas caractérisés par leur volume, mais par leur capacité symplectique, qui est toujours égale à la moitié du quantum d’action. Cette caractérisation inédite permet une formulation topologique intrinsèquement symplectique et invariante du principe d’indétermination quantique. Nous ébaucherons également la construction d’un espace de phase quantique. Nous mentionnerons aussi les résultats récents dus à Patrice Mélinon sur la relation très subtile entre le théorème de Gromov et l’indice de Maslov. S’il nous reste du temps nous conclurons par une brève discussion de quelques problèmes ouverts (physique des plasmas, récurrence de Poincaré).